Il ricorso a modelli matematici è prassi consolidata in ogni campo oggetto di indagine scientifica, teorica e applicata, dalla fisica, disciplina che ha dato il battesimo a questo metodo di lavoro, alla chimica, all’ingegneria ^{([1], [2])}, all’economia ^([3]), alla sociologia ^([4]), per continuare con epidemiologia ^([5]), climatologia ^{([6],[7],[8])}, geologia, ecologia ^([9]), astronomia ^([10]), biologia ^([11]), etc. etc. Il primo tentativo di rappresentare la realtà fisica attraverso schemi concettuali, espressi in termini matematici, risale ai tempi di Pitagora che nel VI secolo A.C. provò a definire la struttura dell’universo come rapporto armonico tra numeri associati ai corpi celesti. ^{([12],[13],[14])}

Presso il pubblico i risultati dei modelli matematici sovente godono di un’aura quasi soprannaturale e sono, pertanto, quasi sempre trattati, in particolare dalla stampa non specialistica (ma non solo), come inconfutabile elemento di prova a sostegno della tesi che si intende sostenere, con affermazioni apodittiche del tipo: “la simulazione matematica ha confermato che il tasso di crescita della popolazione è insostenibile per l’ambiente”; oppure “il nostro modello matematico ha dimostrato che la conclusione del comitato ambientale non è corretta”, e via dicendo. Anche in questi mesi di Covid-19 s’è sentito non pochi richiamarsi a modelli matematici di epidemiologia ^([15],[16]) a sostegno o dell’immunità di gregge, oppure, all’opposto, del rischio elevatissimo di mortalità, con la rapida formazione di fazioni a sostegno dell’una o dell’altra tesi, l’altrettanto rapida convergenza, per lo meno sinora, sulla seconda e la finale constatazione che nessun modello matematico poteva essere considerato attendibile. ^([17],[18]) 

Quando si parla di modelli matematici quasi sempre ci si scorda di chiarire al lettore non familiare con questo metodo di indagine che un modello matematico è nient’altro che la scrittura ordinata e consequenziale di equazioni che traducono, nei termini sintetici offerti dal linguaggio della matematica, la teoria messa a punto per interpretare un dato fenomeno o processo naturale, con lo scopo principale di tentare di formulare delle previsioni sulla sua evoluzione. Questa asserzione è riassunta nella Figura 1.1 del capitolo 1 del testo di  Clive Dym ^([19]) che sintetizza, in modo schematicamente semplice ma efficace, il concetto seguente:

“Attraverso l’osservazione dei fenomeni del mondo reale noi creiamo di essi una rappresentazione concettuale che traduciamo in termini matematici con lo scopo di formulare predizioni sull’evoluzione dei fenomeni stessi.”  

La validità dei risultati ottenuti da un modello matematico è commisurata a quella della teoria che esso rappresenta; se la seconda non è comprovata, i risultati della simulazione non saranno attendibili, per quanto siano correttamente calcolati. Il fatto che un calcolo sia correttamente eseguito non è infatti indice della bontà del suo risultato!

Un’altra carenza, che sovente si manifesta nell’illustrazione dei risultati dei modelli matematici, è non sottolineare il ruolo essenziale rivestito dalle condizioni al contorno e dalle variabili di partenza ^([20]) le quali causano il non trascurabile inconveniente di influenzare in modo drastico le soluzioni e le conclusioni, talora addirittura ribaltandole.

Questi due aspetti, la validità della teoria e le condizioni al contorno, sono solitamente interdipendenti: quanto più precisa è la conoscenza teorica del fenomeno, tanto migliore è quella delle variabili che lo influenzano e viceversa. Ammesso che la teoria sia corretta, e pertanto le equazioni dell’algoritmo siano valide e provate, assumere tuttavia valori diversi per i dati di partenza, per il numero di esse e per la successione temporale con cui esse intervengono, o si fanno intervenire, può condurre a risultati fortemente diversi, divergenti o addirittura contrastanti, pur restando nello stesso alveo teorico.

L’affidamento fideistico ai risultati dei modelli matematici, che assai spesso si rintraccia nei reportage giornalistici, può essere dunque pericolosamente fuorviante. Ogni risultato ottenuto in campo scientifico, prima di essere presentato al grande pubblico, magari attribuendogli valenze grandiose, andrebbe sempre attentamente soppesato e valutato considerandone il dominio di validità, determinato dalle ipotesi di partenza, oltre al comportamento al limite, ossia le risposte che il modello è in grado di fornire in alcune semplici condizioni di riferimento, allorché le variabili di controllo sono volutamente ridotte per indagare situazioni semplici e note. In ciò consiste la valutazione qualitativa di un modello matematico, procedimento che è ovviamente regolarmente applicato dagli operatori del settore, ma quasi sempre dimenticato o sottaciuto nella divulgazione non specialistica, quella dei giornali generalisti per intenderci, maggiormente orientati a generare sensazionalismo che a fornire un’informazione completa e scientificamente corretta.

Affidarsi in modo acritico ai risultati dei modelli matematici è, ahimè, purtroppo, abitudine diffusa e prassi frequente anche tra gli operatori. Nel mio campo, capita non di rado di assistere a quella che non esito a definire distorsione nell’impiego degli elementi finiti, visti come panacea che permette di ottenere migliori risultati progettuali in tutti i casi, senza preoccuparsi del tipo di indagine che si deve effettuare. Si prende un pezzo comunque complesso, lo si suddivide in elementi tridimensionali (i cosiddetti mattoncini o brick) più o meno fitti e si valuta per esempio lo stato tensionale, senza preoccuparsi se l’informazione di interesse (mettiamo, la tensione primaria di flessione) possa essere colta in modo preciso da quel modello (cosa che per esempio è da escludere se i nodi nello spessore sono solo due, a meno di funzioni di forma particolarmente sofisticate dell’elemento a mattoncino utilizzato ^[21]) e se quello stesso modello è in grado di fornire le soluzioni teoricamente corrette nelle situazioni al limite. Quando poi si passa alle analisi non lineari, in cui la successione degli eventi e la dimensione dei passi di integrazione sono di primaria importanza, la questione si complica in modo quasi esiziale; con il forte rischio di imboccare la strada che conduce a ottenere qualsiasi risultato, ciascuno unito agli altri da una sola comune qualità: non essere affidabile.

In linea di principio, dunque, qualunque sia l’alveo disciplinare in cui si opera, il modello matematico si prefigge di fornire una valutazione numerica e dunque quantitativa dell’evoluzione del fenomeno o processo che intende descrivere. L’ingegneria è per elezione la disciplina che ha lo scopo di fornire valutazioni quantitative, applicando le leggi della fisica e della chimica, al fine di realizzare manufatti utili e sicuri. Pertanto, da sempre l’ingegneria ha fatto ampio ricorso ai modelli matematici. Fornire una valutazione numerica e dunque quantitativa dell’evoluzione del fenomeno o processo che si intende descrivere impone di utilizzare lo strumento matematico più adeguato al fenomeno.  Si hanno dunque simulazioni basate su equazioni differenziali ordinarie, equazioni differenziali alle derivate parziali, calcolo combinatorio, statistica, teoria dei giochi, teoria dei grafi, teoria delle probabilità, teoria delle code, programmazione lineare, teoria dei nodi, etc. ^([22])

In relazione alle equazioni utilizzate per descrivere un dato fenomeno, un modello matematico può essere deterministico (per esempio la teoria dell’elasticità, basata sulla legge di Hooke) in quanto il fenomeno è governato da un semplice rapporto causa-effetto, cosicché la risposta è univocamente determinata dai valori delle grandezze di ingresso; oppure, stocastico (per esempio in climatologia), tipico dei sistemi caotici in cui l’elevato numero e l’importante interdipendenza delle variabili in gioco, oppure la non linearità del fenomeno che si intende rappresentare, impediscono di avere una risposta univoca e stabile, ma piuttosto un ventaglio di esiti spesso dispersi in un dominio di ampie dimensioni. È specialmente in questo secondo fronte, quello dei sistemi complessi, che gli output dei modelli matematici dovrebbero essere sempre presi con le molle, particolarmente in assenza di una validazione sperimentale che è spesso di difficilissima attuazione, quanto più è complesso il sistema rappresentato.  

Similmente alle altre discipline tecnico-scientifiche, i modelli usati dall’ingegneria sono basati su equazioni differenziali, ordinarie e alle derivate parziali, equazioni armoniche, e quant’altro è offerto dal repertorio matematico; oppure, si fondano sull’utilizzo di metodi di discretizzazione del continuo per la risoluzione delle equazioni differenziali, quali il metodo alle differenze finite (FDM), quello agli elementi finiti (FEM), ai volumi finiti (FVM) e agli elementi di contorno (BEM). Questi metodi possono operare in campo lineare, oppure non-lineare. Classica è l’applicazione FEM per l’analisi strutturale che può essere condotta in campo elastico lineare, dominato dalla legge di Hooke e caratterizzato da piccoli spostamenti, tali da non alterare in modo significativo, quando avvengono, l’iniziale distribuzione delle forze rispetto alla geometria non deformata; oppure, in campo non lineare, cioè nel dominio in cui la deformazione non è più proporzionale alla tensione e gli spostamenti sono di entità tale da alterare la distribuzione delle forze. Nella prima situazione, che è la più semplice e perciò correntemente applicata, i risultati che si ottengono sono facilmente controllabili, perché non possono essere diversi, nelle situazioni al limite, da quelli che si ottengono con la teoria dell’elasticità e i risultati sono determinati in modo univoco dai dati di ingresso. La seconda situazione è decisamente più complessa e prona a errori; il tipo di reticolo in cui si suddivide l’elemento modellato, la tecnica di integrazione, il passo di integrazione e vari altri aspetti sono di fondamentale importanza ^([23]) per ottenere risultati ragionevoli sulla cui attendibilità è più complicato pronunciarsi dato che gli approcci mentali abitualmente usati si basano sulla linearità che qui viene meno. Per superare le limitazioni imposte dalla complessità dei procedimenti di calcolo, essendo l’ingegneria orientata a conseguire risultati concreti, veloci e sicuri dalle sue applicazioni, si fa ampio ricorso a modelli matematici semplificati e conservativi, le cui equazioni sono cioè costruite in modo tale da sovrastimare le conclusioni ed essere a favore di sicurezza; insomma, non importa che il risultato sia scientificamente corretto, ma che sia sicuro.

Un altro aspetto tremendamente importante cui si deve porre attenzione quando si analizzano situazioni complesse, è che, al di là delle capacità di calcolo, della raffinatezza e della qualificazione del software utilizzato, i risultati dei modelli matematici andrebbero sempre confrontati con i risultati sperimentali per tararli e validarli, e per comprendere l’impatto delle condizioni iniziali. Solo successivamente a questa fase, per altro complessa, un modello può essere utilizzato come predittivo di situazioni analoghe, sebbene basate su geometrie diverse. Il procedimento inverso, non infrequente ahimè, è invece foriero di errori, a volte grossolani.

Un film del 2016, diretto da Clint Eastwood, Sully ^([24]), offre una plastica dimostrazione del pericolo insito nell’affidarsi ciecamente ai modelli senza aver adeguatamente valutato la consistenza delle condizioni al contorno. Nella simulazione di volo presso l’Airbus Training Center Europe ^([25]), voluta dall’Autorità Statunitense NSTB ^([26]), nel corso dell’indagine sull’incidente aereo sul fiume Hudson del Flight 1549 ^([27]), i piloti del simulatore riuscivano ad atterrare con successo sia all’aeroporto di La Guardia che presso quello di Teterboro. La simulazione tuttavia, come fece osservare il comandante Sullenberger ^([28]), analizzava una situazione ideale, dato che il pilota del simulatore era stato preventivamente istruito a dirigersi sui due aeroporti, e non teneva conto del fattore umano, ossia del tempo occorrente al pilota reale per realizzare cosa fosse accaduto e assumere, in mancanza di istruzioni preventive, una decisione operativa del tutto imprevista. In una nuova simulazione di volo, il ritardo di soli 35 secondi, assunto come misura del tempo di reazione del comandante nel prendere la decisione di dirigersi su uno dei due aeroporti, conduceva al fallimento del tentativo di atterraggio presso entrambi gli aeroporti. Trentacinque secondi rappresentano la differenza tra il successo e la disfatta, tra la vita e la morte! Una piccola differenza nelle condizioni di partenza, ma tuttavia fondamentale a modificare in modo drastico il risultato della simulazione e l’esito dell’evento!

La possibile divergenza degli esiti, che può essere facilmente osservata in tutte le applicazioni delle simulazioni matematiche di fenomeni complessi, qualunque sia il loro settore di impiego, dovrebbe essere sempre tenuta presente quando si spacciano per certezze conclusioni che non sono state invece attentamente e adeguatamente soppesate.